Question

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形為直角梯形，平面 ，為的中點，．

（1）求證：平面 ；

（2）設，求點到平面 的距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析，（2）

【解析】

試題分析：（1）證明線面平行常用方法：一是利用線面平行的判定定理，二是利用面面平行的性質定理，三是利用面面平行的性質；（2）利用棱錐的體積公式求體積．（3）證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質定理；三是平行線法（若兩條平行線中的一條垂直于這個平面，則另一條也垂直于這個平面．解題時，注意線線、線面與面面關系的相互轉化．（4）在求三棱柱體積時，選擇適當的底作為底面，這樣體積容易計算．

試題解析：（1）證明：

（方法一）設線段的中點為，連接．

∵為的中點，∴

∵，且，∴四邊形為平行四邊形，∴．

又，∴平面 平面．

∵平面 ，∴平面 ．

（方法二）設線段的中點為，連接．

∵為的中點，

∴，且．

又∵，且，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴．

∵平面 平面 ，

∴平面

（2）解：（方法一）∵四邊形為直角梯形，．

∴四邊形為正方形，為等腰直角三角形．

∴，即．

又∵平面 ，∴．

又，∴平面 ，面平面 ，

∴平面 平面

過作于點，則平面 ，即為點到平面的距離．

∵，∴，∴，點到平面 的距離為

（方法二）設點到平面的距離為．

∵，∴，∴．

由方法一得，平面 ，∴，

∴．