Question

【題目】2020年春節期間，武漢市爆發了新型冠狀病毒肺炎疫情，在黨中央的堅強領導下，全國人民團結一心，眾志成城，共同抗擊疫情.某中學寒假開學后，為了普及傳染病知識，增強學生的防范意識，提高自身保護能力，校委會在全校學生范圍內，組織了一次傳染病及個人衛生相關知識有獎競賽(滿分100分)，競賽獎勵規則如下，得分在內的學生獲三等獎，得分在內的學生獲二等獎，得分在內的學生獲一等獎，其他學生不得獎.教務處為了解學生對相關知識的掌握情況，隨機抽取了100名學生的競賽成績，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖.

（1）現從該樣本中隨機抽取兩名學生的競賽成績，求這兩名學生中恰有一名學生獲獎的概率；

（2）若該校所有參賽學生的成績近似服從正態分布，其中為樣本平均數的估計值，利用所得正態分布模型解決以下問題：

(i)若該校共有10000名學生參加了競賽，試估計參賽學生中成績超過79分的學生數(結果四舍五入到整數)；

(ii)若從所有參賽學生中(參賽學生數大于10000)隨機抽取3名學生進行座談，設其中競賽成績在64分以上的學生數為，求隨機變量的分布列和均值.

附：若隨機變量服從正態分布，則，，.

Answer 1

【答案】（1）（2）(i)(ii)詳見解析

【解析】

（1）由樣本頻率分布直方圖得，有30人獲獎，70人沒有獲獎，設“抽取的兩名學生中恰有一名學生獲獎”為事件，利用組合數公式求出總的基本事件數和事件包含的基本事件數，代入古典概型概率計算公式即可求解；

（2）利用頻率分布直方圖中的數據，代入平均數公式求出平均數的估計值，利用正態分布曲線的對稱性求出的概率，即可估計參賽學生中成績超過79分的學生數；利用正態分布的性質和二項分布的概率和期望公式求出隨機變量的分布列和均值即可.

（1）由樣本頻率分布直方圖得，樣本中獲一等獎的6人，獲二等獎的8人，

獲三等獎的16人，所以有30人獲獎，70人沒有獲獎，

從該樣本中隨機抽取兩名學生的競賽成績，基本事件總數為，

設“抽取的兩名學生中恰有一名學生獲獎”為事件，

則事件包含的基本事件的個數為，

由古典概型概率計算公式可得，，

所以抽取的兩名學生中恰有一名學生獲獎的概率.

（2）由樣本頻率分布直方圖得樣本平均數的估計值，所有參賽學生的成績近似服從正態分布.

（i）因為，所以，

參賽學生中成績超過79分的學生數約為.

（ⅱ）由，得，即從所有參賽學生中隨機抽取1名學生，競賽成績在64分以上的概率為，所以隨機變量服從二項分布.

隨機變量的所有可能取得的值為0，1，2，3.

，

，

，

，

隨機變量的分布列為

	0	1	2	3

所以.