Question

【題目】已知函數（其中為自然對數的底數），.

（Ⅰ）當時，求的最小值；

（Ⅱ）記，請證明下列結論：

①若，則對任意，有；

②若，則存在實數，使.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出， 求得 的范圍，可得函數增區間， 求得 的范圍，可得函數的減區間,根據函數的單調性可求的最小值；（Ⅱ） 時，可證在上單調遞增，則對任意，有， 時，兩次求導， 在上單調遞減，則，可證存在實數，使.

試題解析：（Ⅰ）當時， ，則.

當時， ，即在上單調遞減；

當時， ，即在上單調遞增.

故.

（Ⅱ），則.

①若，由（1）知，即，

于是 ，

所以在上單調遞增，則對任意，有；

②若，令.

則在上單調遞增，且，

故存在唯一的，使，

則當時， ，即在上單調遞減，

故，從而在上單調遞減，則，

即存在實數，使.