Question

若實數x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x²-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數a、b，證明：a²b+ab²比a³+b³接近2ab

ab

；
（3）已知函數f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值．寫出函數f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調性（結論不要求證明）．

Answer 1

分析：（1）根據新定義得到不等式|x²-1|＜3，然后求出x的范圍即可．
（2）對任意兩個不相等的正數a、b，依據新定義寫出不等式，利用作差法證明：a²b+ab²比a³+b³接近2ab

ab

；
（3）依據新定義寫出函數f（x）的解析式，f(x)=

1+sinx x∈(2kπ-π，2kπ) 1-sinx x∈(2kπ，2kπ+π)

 =1-|sinx|，x≠kπ
直接寫出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調性，即可．

解答：解：（1）|x²-1|＜3，0≤x²＜4，-2＜x＜2
x∈（-2，2）；
（2）對任意兩個不相等的正數a、b，
有a2b+ab2＞2ab

ab

，a3+b3＞2ab

ab

，
因為|a2b+ab2-2ab

ab

|-|a3+b3-2ab

ab

|=-(a+b)(a-b)2＜0，
所以|a2b+ab2-2ab

ab

|＜|a3+b3-2ab

ab

|，
即a²b+ab²比a³+b³接近2ab

ab

；
（3）f(x)=

1+sinx x∈(2kπ-π，2kπ) 1-sinx x∈(2kπ，2kπ+π)

 =1-|sinx|，x≠kπ，
k∈Z，f（x）是偶函數，f（x）是周期函數，
最小正周期T=p，函數f（x）的最小值為0，
函數f（x）在區間[kπ-

π

2

，kπ)單調遞增，
在區間(kπ，kπ+

π

2

]單調遞減，k∈Z．

點評：本題是新定義題目，直線審題是能夠解題的根據，新定義問題，往往是結合相關的知識，利用已有的方法求出所求結果．注意轉化思想的應用．