Question

若實數x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若2x-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數a、b，證明：a²b+ab²比a³+b³接近2ab

ab

．

Answer 1

分析：（1）若2x-1比3接近0，則有|2x-1-0|＜|3-0|，即|2x-1|＜3，解絕對值不等式求出x的取值范圍．
（2）由基本不等式可得a²b+ab² ＞2ab

ab

，a3+b3＞2ab

ab

，用比較法證明|a²b+ab² -2ab

ab

|＜|a3+b3-2ab

ab

|，可得a²b+ab²比a³+b³接近2ab

ab

．

解答：（1）解：若2x-1比3接近0，則有|2x-1-0|＜|3-0|，
∴|2x-1|＜3，即-3＜2x-1＜3，
解得-1＜x＜2，
故x的取值范圍為 （-1，2）．
（2）證明：對任意兩個不相等的正數a、b，a+b＞2

ab

，有a²b+ab² ＞2ab

ab

，a3+b3＞2

a3b3

=2ab

ab

，即a3+b3＞2ab

ab

．
又因為|a²b+ab² -2ab

ab

|-|a3+b3-2ab

ab

|=ab（a+b）-2ab

ab

-（a³+b³）+2ab

ab

=ab（a+b）-（a+b）（a²+b²-ab）=-（a+b）（a-b）²＜0，
所以，|a²b+ab² -2ab

ab

|＜-|a3+b3-2ab

ab

|，即a²b+ab²比a³+b³接近2ab

ab

．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，用比較法證明不等式，基本不等式的應用，屬于中檔題．