Question

【題目】設集合的元素均為實數，若對任意，存在，，使得且，則稱元素個數最少的和為的“孿生集”；稱的“孿生集”的“孿生集”為的“2級孿生集”；稱的“2級孿生集”的“孿生集”為的“3級孿生集”，依此類推……

（1）設，直接寫出集合的“孿生集”；

（2）設元素個數為的集合的“孿生集”分別為和，若使集合中元素個數最少且所有元素之和為2，證明：中所有元素之和為；

（3）若，請直接寫出的“級孿生集”的個數，及所有“級孿生集”的并集的元素個數.

Answer 1

【答案】（1），；（2）證明見解析；（3），

【解析】

（1）根據集合定義直接得到答案.

（2）將集合中元素從小到大排列：，則“孿生集”

，，構成公差為2的等差數列，計算得到答案.

（3）的“級孿生集”的個數為，計算元素個數得到答案.

（1），

（2）將集合中元素從小到大排列：

則其“孿生集”，，設集合，

由于，，，，

因此集合中元素個數，

若，則有，

即

因此構成公差為2的等差數列，

所以，進而

（3）的“級孿生集”的個數為

所有“級孿生集”的并集的元素個數為.