Question

已知點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心（三個(gè)內(nèi)角平分線交點(diǎn)）、外心（三條邊的中垂線交點(diǎn)）、重心（三條中線交點(diǎn)）、垂心（三個(gè)高的交點(diǎn)）之一，且滿足2

AP

•

BC

=

AC

2-

AB

2，則點(diǎn)P一定是△ABC的（　　）

A．內(nèi)心

B．外心

C．重心

D．垂心

Answer 1

分析：設(shè)D為BC的中點(diǎn)，可得

AC

+

AB

=2

AD

．根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，將2

AP

•

BC

=

AC

2-

AB

2化簡(jiǎn)，得到2

BC

•（

AD

-

AP

）=0，從而得到

BC

•

PD

=0，即

BC

⊥

PD

，從而得到P在BC的垂直平分線上．由此根據(jù)三角形外心的性質(zhì)，結(jié)合題意可得答案．

解答：解：設(shè)D為BC的中點(diǎn)，可得

AC

+

AB

=2

AD

∵

AC

2-

AB

2=(

AC

 +

AB

 )(

AC

 -

AB

 )
∴點(diǎn)P滿足2

AP

•

BC

=

AC

2-

AB

2=2

AD

•（

AC

-

AB

）
∵向量

BC

=

AC

-

AB

∴2

AP

•

BC

=2

AD

•

BC

，移項(xiàng)得2

BC

•（

AD

-

AP

）=0
即

BC

•

PD

=0，得

BC

⊥

PD

．結(jié)合D為BC的中點(diǎn)，可得P在BC的垂直平分線上
又∵點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心、外心、重心和垂心之一
∴結(jié)合三角形外接圓的性質(zhì)，得點(diǎn)P是△ABC的外心
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形中的點(diǎn)P滿足的向量等式，求點(diǎn)P是三角形四心中的哪一個(gè)．著重考查了向量的線性運(yùn)算法則、向量的數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)和三角形的四心等知識(shí)，屬于中檔題．