Question

（2011•朝陽區二模）已知點P是△ABC的中位線EF上任意一點，且EF∥BC．設△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S₁，S₂，S₃，記

S1

S

=λ1，

S2

S

=λ2，

S3

S

=λ3，定義M（P）=（λ₁，λ₂，λ₃）．當λ₂•λ₃取最大值時，則M（P）等于（　　）

• A．(

  1

  2

  ，

  1

  4

  ，

  1

  4

  )
• B．(

  1

  4

  ，

  1

  4

  ，

  1

  2

  )
• C．(

  1

  3

  ，

  1

  3

  ，

  1

  3

  )
• D．(

  1

  2

  ，

  1

  2

  ，

  1

  2

  )

Answer 1

分析：根據題意，易得1=λ₁+λ₂+λ₃，又由S_△PBC=

1

2

S_△ABC，即λ₁=

1

2

，則λ₂+λ₃=

1

2

，由基本不等式可得λ2λ3≤(

λ2+λ3

2

)2=

1

16

，λ2=λ3=

1

4

時取等號；即可得答案．

解答：解：根據題意，易得S=S₁+S₂+S₃，即S=λ₁S+λ₂S+λ₃S，進而可得：1=λ₁+λ₂+λ₃，
又由S_△PBC=

1

2

S_△ABC，即λ₁=

1

2

，
則λ₂+λ₃=

1

2

，
λ2λ3≤(

λ2+λ3

2

)2=

1

16

，λ2=λ3=

1

4

時取等號；
此時M（P）=（λ₁，λ₂，λ₃）=（

1

2

，

1

4

，

1

4

）；
故選A．

點評：本題考查基本不等式的運用，關鍵在于發現λ₂+λ₃=

1

2

，進而結合基本不等式來解題．