Question

（2012•濟南二模）已知點P是△ABC的中位線EF上任意一點，且EF∥BC，實數x，y滿足

PA

+x

PB

+y

PC

=0．設△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S₁，S₂，S₃，記

S1

S

=λ1，

S2

S

=λ2，

S3

S

=λ3．則λ₂•λ₃取最大值時，2x+y的值為（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  1

  2

• C．1
• D．2

Answer 1

分析：由題設條件知λ1+λ2+λ3=1，λ1=

1

2

，λ2+λ3=

1

2

，λ2λ3≤(

λ2+λ3

2

)2=

1

16

，λ2=λ3=

1

4

時取等號，
此時點P為EF的中點，能求出λ₂•λ₃取最大值時，2x+y的值．

解答：解：∵△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S₁，S₂，S₃，

S1

S

=λ1，

S2

S

=λ2，

S3

S

=λ3．
∴λ1+λ2+λ3=

S1+S2+S3

S

=1，
∵P是△ABC的中位線EF上任意一點，且EF∥BC，
∴λ1=

1

2

，λ2+λ3=

1

2

∴λ2λ3≤(

λ2+λ3

2

)2=

1

16

，λ2=λ3=

1

4

時取等號，此時點P為EF的中點，
∵實數x，y滿足

PA

+x

PB

+y

PC

=0，
∴由

PA

=-

1

2

(

PB

+

PC

)，
得到x=

1

2

，y=

1

2

，2x+y=

3

2

．
故選A．

點評：本題考查向量在幾何中的應用，綜合性強，難度大，是高考的重點，計算繁瑣，容易出錯．解題時要認真審題，仔細解答，注意轉化思想的合理運用．