Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）談論函數的單調性；

（Ⅱ）若函數在區(qū)間內任取有兩個不相等的實數，，不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時,函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（1）函數的定義域為 ， ，然后再對進行分類討論，分和兩種情況，結合函數的單調性性質，即可求出結果；（2）令 ，則 .已知，則.

由 .設函數 ，則函數是在 上的增函數，又，則原問題轉化為：只要上恒成立，然后再根據二次函數的性質求出函數的最小值，即可求出結果.

試題解析：

（1）函數的定義域為 ， ，

①當時，，在 上恒成立，所以 在上單調遞增.

②當時，方程有一正根一負根，在上的根為 ，所以函數 在上單調遞減，在上單調遞增.

綜上，當時， 在上單調遞增；

當時，函數 在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）不妨令 ，則 .

已知，則.

由

.

設函數 ，則函數是在 上的增函數，

所以，

又函數是在 上的增函數，只要上恒成立， 在上，所以 .