Question

【題目】已知函數g（x）=x2﹣ax+b，其圖象對稱軸為直線x=2，且g（x）的最小值為﹣1，設f（x）= ．
（1）求實數a，b的值；
（2）若不等式f（3x）﹣t3x≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立，求實數t的取值范圍；
（3）若關于x的方程f（|2x﹣2|）+k ﹣3k=0有三個不同的實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數g（x）=x2﹣ax+b，其圖象對稱軸為直線x=2，

∴ =2，

解得：a=4，

當x=2時，函數取最小值b﹣4=﹣1，

解得：b=3

（2）解：由（1）得：g（x）=x2﹣4x+3，

f（x）=x﹣4+

若不等式f（3x）﹣t3x≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立，

則t≤ 在x∈[﹣2，2]上恒成立，

當3x= ，即x=log32﹣1時， 取最小值﹣ ，

故t≤﹣

（3）解：令t=|2x﹣2|，t≥0，

則原方程可化為：t+ ﹣4+ ﹣3k=0，

即t2﹣（4+3k）t+（3+2k）=0，

若關于x的方程f（|2x﹣2|）+k ﹣3k=0有三個不同的實數解，

則方程t2﹣（4+3k）t+（3+2k）=0有兩個根，

其中一個在區間（0，2）上，一個在區間[2，+∞），

令h（t）=t2﹣（4+3k）t+（3+2k），

則 ，

即 ，

解得：k∈[﹣ ，+∞）

【解析】（1）根據函數g（x）=x2﹣ax+b，其圖象對稱軸為直線x=2，且g（x）的最小值為﹣1，可得實數a，b的值；（2）若不等式f（3x）﹣t3x≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立，t≤ 在x∈[﹣2，2]上恒成立，進而得到實數t的取值范圍；（3）若關于x的方程f（|2x﹣2|）+k ﹣3k=0有三個不同的實數解，則方程t2﹣（4+3k）t+（3+2k）=0有兩個根，其中一個在區間（0，2）上，一個在區間[2，+∞），進而可得實數k的取值范圍．