Question

【題目】已知函數f（x）=log2（x+1），g（x）=log2（3x+1）．
（1）求出使g（x）≥f（x）成立的x的取值范圍；
（2）在（1）的范圍內求y=g（x）﹣f（x）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=log2（x+1），g（x）= ，g（x）≥f（x），

∴log2（x+1）≤ ，

∴3x+1≥x+1＞0，

∴x≥0．

（2）解：∵y=g（x）﹣f（x）

= ﹣log2（x+1）

= （x≥0）．

令h（x）= =3﹣ ，

則h（x）為[0，+∞）上的增函數，

∴h（x）min=h（0）=1，

由復合函數的性質得：y=g（x）﹣f（x）的最小值為log21=0

【解析】（1）利用對數函數y=log2x的單調性即可求得g（x）≥f（x）成立的x的取值范圍；（2）利用函數y=g（x）﹣f（x）的性質即可求得其最小值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解對數函數的單調性與特殊點(過定點（1，0），即x=1時，y=0;a>1時在（0，+∞）上是增函數;0>a>1時在（0，+∞）上是減函數)．