Question

【題目】已知{an}為等差數列，前n項和為Sn（n∈N*），{bn}是首項為2的等比數列，且公比大于0，b2+b3＝12，b3＝a4﹣2a1，S11＝11b4．

（Ⅰ）求{an}和{bn}的通項公式；

（Ⅱ）求數列{anbn}的前n項和為Tn（n∈N*）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）an＝3n﹣2，bn＝2n；（Ⅱ）Tn＝（6n﹣7）2n+4

【解析】

（1）根據題意，用等差數列和等比數列的基本量解方程，從而計算出數列的公差和公比即可求得通項公式；

（2）根據通項公式的特點，選用錯位相減法求數列的前項和.

（Ⅰ）由題意，設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q，則q＞0．

故2q（1+q）＝12，解得q＝2，

由題意，得，解得．

∴an＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；bn＝22n﹣1＝2n．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，anbn＝（3n﹣2）2n．

∴Tn＝a1b1+a2b2+…+anbn＝12+422+…+（3n﹣2）2n，①

2Tn＝122+423+…+（3n﹣5）2n+（3n﹣2）2n+1，②

①﹣②，得﹣Tn＝12+322+323+…+32n﹣（3n﹣2）2n+1

＝2+6（2++…+2n﹣1）﹣（3n﹣2）2n+1

＝2+6（3n﹣2）2n+1

＝（10﹣6n）2n﹣10

∴Tn＝（6n﹣10）2n+10．