【題目】已知橢圓
：
的離心率
，
是橢圓上的動點，且點到橢圓焦點的距離的最小值為1.
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的右焦點
的直線
交橢圓于
，
兩點，當(dāng)
時，求
面積的最大值.
【答案】(1)
；(2)
.
【解析】
（1）根據(jù)離心率以及橢圓定義，列出
方程組，求解即可得到橢圓方程；
（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓，由韋達(dá)定理，結(jié)合
，得到直線方程，從而將面積的最值問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離的最值問題.
（1）根據(jù)題意可得
，
故可解得
，由
，
故橢圓方程為
.
（2）由（1）可知橢圓右焦點坐標(biāo)為
，
當(dāng)直線斜率不存在時，即
為
，解得
滿足，
顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點
為橢圓的左頂點時，此時
面積取得最大值
.
當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為：
聯(lián)立橢圓方程
可得
因為
故可得
整理得
解得
，此時直線方程為
故
又當(dāng)點P在橢圓上，且過P點的切線與直線平行時，面積最大
故設(shè)該切線為
聯(lián)立橢圓方程
可得
令
解得
，或
(舍)
當(dāng)時可得
解得
，
，即
由點P到直線的距離公式可得：
三角形的高
，
故
又因為
故當(dāng)且僅當(dāng)直線的斜率不存在時，面積取得最大值.
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】向量集合
,對于任意
,以及任意
,都有
,則稱
為“
類集”,現(xiàn)有四個命題:
①若為“類集”,則集合
也是“類集”;
②若,
都是“類集”,則集合
也是“類集”;
③若
都是“類集”,則
也是“類集”;
④若都是“類集”,且交集非空,則
也是“類集”.
其中正確的命題有________(填所有正確命題的序號)
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知{an}為等差數(shù)列，前n項和為Sn（n∈N*），{bn}是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2+b3＝12，b3＝a4﹣2a1，S11＝11b4．
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{anbn}的前n項和為Tn（n∈N*）．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，
底面ABC，
，H為PC的中點，M為AH的中點
，
.
（1）求PM與平面AHB成角的正弦值；
（2）在線段PB上是否存在點N，使得
平面ABC.若存在，請說明點N的位置，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，點T為圓
上一動點，過點T分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A，B，連接BA延長至點P，使得
，點P的軌跡記為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若點A，B分別位于x軸與y軸的正半軸上，直線AB與曲線C相交于M，N兩點，試問在曲線C上是否存在點Q，使得四邊形OMQN為平行四邊形，若存在，求出直線l方程；若不存在，說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在海岸線
一側(cè)有一休閑游樂場，游樂場的前一部分邊界為曲線段
，該曲線段是函數(shù)
，
的圖象，圖象的最高點為
.邊界的中間部分為長1千米的直線段
，且
.游樂場的后部分邊界是以
為圓心的一段圓弧
.
(1)求曲線段的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如圖，在扇形
區(qū)域內(nèi)建一個平行四邊形休閑區(qū)
，平行四邊形的一邊在海岸線上，一邊在半徑
上，另外一個頂點
在圓弧上，且
，求平行四邊形休閑區(qū)面積的最大值及此時
的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直的棱柱）
中，D為
中點，F為線段
的中點
.
（1）若M為
中點，求證：
面
；
（2）求二面角
的余弦值.
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