Question

已知

OA

=(-1，1)，

OB

=(0，-1)，

OC

=(1，m)(m∈R)．
（1）若A，B，C三點共線，求實數m的值；
（2）證明：對任意實數m，恒有 

CA

•

CB

≥1成立．

Answer 1

分析：（1）由平面向量的坐標運算，得到向量

AB

、

CA

的坐標，根據向量共線的充要條件列式，解之即可得到實數m的值；
（2）由平面向量數量積的坐標運算公式，得

CA

•

CB

=m²+1，結合二次函數的性質，可證出 

CA

•

CB

≥1對任意實數m恒成立．

解答：解：（1）∵

OA

=(-1，1)，

OB

=(0，-1)，

OC

=(1，m)
∴

CA

=(-2，1-m)，

AB

=(1，-2)…（2分）
∵A，B，C三點共線，
∴向量

CA

、

AB

是共線向量，得（-2）×（-2）=（1-m）×1…（5分）
∴解之得：m=-3…（7分）
（2）由（1），得

CA

=(-2，1-m)，

CB

=(-1，-1-m)…（9分）
∴

CA

•

CB

=2-(1-m2)=m2+1≥1
即對任意實數m，恒有 

CA

•

CB

≥1成立．…（14分）

點評：本題給出含有字母m的向量坐標形式，在已知三點共線的情況下求參數m的值，并且證明不等式恒成立．著重考查了平面向量數量積的運算公式和向量共線等知識，屬于基礎題．