Question

（理科加試題）已知

OA

=(1，0，2)，

OB

=(2，2，0)，

OC

=(0，1，2)，點M在直線OC上運動，當

MA

•

MB

取最小時，求點M的坐標．

Answer 1

分析：由點M在直線OC上可設

OM

=λ

OC

=(o，λ，2λ)，從而可求

MA

 ，

MB

，利用向量的數量積可求得

MA

•

MB

=2-λ(2-λ)-2λ(2-2λ)=5λ2-6λ+2，根據二次函數的知識可求最值

解答：解：設

OM

=λ

OC

=(o，λ，2λ)，（2分）
∴

MA

=

MO

+

OA

=(1，-λ，2-2λ)，（3分）

MB

=

MO

+

OB

=(2，2-λ，-2λ)，（4分）
∴

MA

•

MB

=2-λ(2-λ)-2λ(2-2λ)=5λ2-6λ+2（6分）
=5(λ-

3

5

)2+

1

5

，（8分）
∴當λ=

3

5

時，

MA

•

MB

最小；此時M(0，

3

5

，

6

5

)．（10分）

點評：本題以向量的數量積為切入點，主要考查了利用二次函數的性質求解函數的最值問題，試題難度不大．