Question

【題目】直角三角形中，是的中點，是線段上一個動點，且，如圖所示，沿將翻折至，使得平面平面．

（1）當時，證明：平面；

（2）是否存在，使得與平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：

(1)由題意可得，取的中點，連接交于，當時，由幾何關系可證得平面.則.利用線面垂直的判斷定理可得平面.

(2)建立空間直角坐標系，結合直線的方向向量與平面的法向量計算可得存在，使得與平面所成的角的正弦值為.

試題解析：

（1）在中，，即，

則，

取的中點，連接交于，

當時，是的中點，而是的中點，

∴是的中位線，∴.

在中，是的中點，

∴是的中點.

在中，，

∴，則.

又平面平面，平面平面，

∴平面.

又平面，∴.

而，∴平面.

（2）以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系.

則，，，，

由（1）知是中點，，而平面平面.

∴平面，

則.

假設存在滿足題意的，則由.

可得，

則.

設平面的一個法向量為，

則即

令，可得，，即.

∴與平面所成的角的正弦值

.

解得（舍去）.

綜上，存在，使得與平面所成的角的正弦值為.