Question

【題目】已知函數.

（1）若函數在處的切線方程為，求實數，的值；

（2）若函數在和兩處取得極值，求實數的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由題意得：，，解得，.

（2）由題意知：有兩個零點，，

令，而.

對時和時分類討論，解得：.經檢驗，合題；

（3）由題意得，，即.

所以，令，即，

令，求導，得在上單調遞減，即.

，.令，求導得在上單調遞減，得的取值范圍.

（1），

由題意得：，即，

即，所以，.

（2）由題意知：有兩個零點，，

令，而.

①當時，恒成立

所以單調遞減，此時至多1個零點（舍）.

②當時，令，解得：，

在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，

因為有兩個零點，所以，

解得：.

因為，，且，

而在上單調遞減，

所以在上有1個零點；

又因為（易證），

則且，

而在上單調遞增，

所以在上有1個零點.

綜上：.

（3）由題意得，，即.

所以，令，即，

令，，

令，而，

所以在上單調遞減，即，

所以在上單調遞減，即.

因為，.

令，而恒成立，

所以在上單調遞減，又，

所以.