Question

【題目】設函數.

（Ⅰ）求的單調區間；

（Ⅱ）求的零點個數；

（Ⅲ）證明：曲線沒有經過原點的切線.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）時，在內單調遞增；時，，，在區間及內單調遞增，在內單調遞減；（Ⅱ）有且僅有一個零點；（Ⅲ）證明見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）本小題要求單調區間，可先求定義域為，再求出導數，研究的根的情況，從而得出的解集，得單調區間；（Ⅱ）函數的零點個數，可利用（Ⅰ）的單調性證明，如當時，在內單調遞增，最多只有1個零點，如能說明函數有正有負，則一定有一個零點；當時，在及內單調遞增，在內單調遞減，是的根，要討論的正負，從而確定零點個數；（Ⅲ）用反證，假設曲線在點處的切線經過原點，則有，化簡得.下面只要證明此方程無解即可，可求函數的最小值，證得結論．

試題解析：（Ⅰ）的定義域為，.

令，得.

當，即時，，

∴在內單調遞增.

當，即時，由解得，

，，且，

在區間及內，，在內，，

∴在區間及內單調遞增，在內單調遞減.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當時，在內單調遞增，

∴最多只有一個零點.

又∵，∴當且時，；

當且時，，故有且僅有一個零點.

當時，∵在及內單調遞增，在內單調遞減，

且，

，

而，

（∵），

∴，由此知，

又∵當且時，，故在內有且僅有一個零點.

綜上所述，當時，有且僅有一個零點.

（Ⅲ）假設曲線在點處的切線經過原點，

則有，即，

化簡得：.（*）

記，則，

令，解得.

當時，，當時，，

∴是的最小值，即當時，.

由此說明方程（*）無解，∴曲線沒有經過原點的切線.