Question

【題目】已知直線．

（1）求證：無論取何值，直線始終經過第一象限；

（2）若直線與軸正半軸交于點，與軸正半軸交于點，為坐標原點，設的面積為，求的最小值及此時直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析； （2）面積的最小值為4，直線的方程為．

【解析】

（1）先將直線方程化成點斜式，求得、的值，可得定點坐標，再根據定點在第一象限，可得直線始終經過第一象限；

（2）法一：先求得、的坐標，可得的面積為表達式，再利用基本不等式，求得的最小值及此時的值，進而得到此時直線的方程．

法二：設直線的方程為，則，直線過定點，所以，利用基本不等式求得，則可得的最小值及此時的的值，進而得到此時直線的方程．

（1）因為直線，即，令，求得，，

即直線過定點且在第一象限，

所以無論取何值，直線始終經過第一象限．

（2）方法一：因為直線與軸，軸正半軸分別交于，兩點，所以，

令，解得；令，得，

即，，

∴，

∵，∴，

則，

當且僅當，也即時，取得等號，

則，

∴，從而的最小值為4，

此時直線的方程為，即．

方法二：因為直線與軸，軸正半軸分別交于，兩點，設，，

設直線的方程為，則，

又直線過定點，所以，

又因為，，所以，

即：，所以，

∴，即的最小值為4，

此時，解得，，

所以直線的方程為，即：．