Question

對于定義域和值域均為[0，1]的函數f（x），設f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），…，f_n（x）=f（f_n-1（x））（n∈N^*），若x_o滿足f_n（x₀）=x₀，則x_o稱為f（x）的n階周期點．
（1）若f（x）=2x（0≤x≤1），則f（x）的2階周期點的值為

 

；
（2）若f（x）=

2x，x∈[0， 1 2 ] 2-2x，x∈( 1 2 ，1]

，則f（x）的2階周期點的個數是

 

．

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）若f（x）=2x，則f₂（x）=4x，令f₂（x₀）=x₀，可得f（x）的2階周期點的值；
（2）根據f（x）=

2x，x∈[0， 1 2 ] 2-2x，x∈( 1 2 ，1]

，分0≤2x≤

1

2

，即0≤x≤

1

4

時，當

1

2

＜2x≤1，即

1

4

＜x≤

1

2

時，

1

2

＜x≤1時，討論f（x）的2階周期點的個數，最后綜合討論結果可得答案．

解答： 解：（1）∵f₂（x）=f（f₁（x））=f（2x）=4x，
令f₂（x）=x，
解得：x=0．
（2）當0≤2x≤

1

2

，即0≤x≤

1

4

時，
f₂（x）=f（f₁（x））=f（2x）=4x，
令f₂（x）=x，解得x=0，
當

1

2

＜2x≤1，即

1

4

＜x≤

1

2

時，
f₂（x）=f（f₁（x））=f（2x）=2-2（2x）=2-4x，
令f₂（x）=x，解得x=

2

5

，
故0≤x≤

1

2

時，f（x）的2階周期點有兩個，
同理

1

2

＜x≤1時，f（x）的2階周期點也有兩個，
故f（x）的2階周期點共有4個．
故答案為：0，4

點評：本題考查的知識點是分段函數，其中正確理解f（x）的n階周期點的定義，是解答的關鍵．