Question

【題目】如圖，某市擬在長為8km的道路OP的一側修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數y=Asinωx（A＞0，ω＞0）x∈[0，4]的圖象，且圖象的最高點為 ；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運動員的安全，限定∠MNP=120°
（1）求A，ω的值和M，P兩點間的距離；
（2）應如何設計，才能使折線段賽道MNP最長？

Answer 1

【答案】
（1）解：因為圖象的最高點為

所以A= ，

由圖知y=Asinx的周期為T=12，又T= ，所以ω= ，所以y=

所以M（4，3），P（8，0）

|MP|=

（2）解：在△MNP中，∠MNP=120°，故θ∈（0°，60°）

由正弦定理得 ，

所以NP= ，MN=

設使折線段賽道MNP為L則

L=

=

=

所以當角θ=30°時L的最大值是 ．

【解析】（1）由圖得到A及周期，利用三角函數的周期公式求出ω，將M的橫坐標代入求出M的坐標，利用兩點距離公式求出|MP|（2）利用三角形的正弦定理求出NP，MN，求出折線段賽道MNP的長，化簡三角函數，利用三角函數的有界性求出最大值．