Question

【題目】如圖1，菱形ABCD的邊長為12，∠BAD=60°，AC與BD交于O點．將菱形ABCD沿對角線AC折起，得到三棱錐B﹣ACD，點M是棱BC的中點，DM=6 ．
（I）求證：平面ODM⊥平面ABC；
（II）求二面角M﹣AD﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵ABCD是菱形，

∴AD=DC，OD⊥AC，

△ADC中，AD=DC=12，∠ADC=120°，

∴OD=6，

又M是BC中點，∴ ，

∵OD2+OM2=MD2，∴DO⊥OM，

∵OM，AC面ABC，OM∩AC=O，

∴OD⊥面ABC，

又∵OD平面ODM，∴平面ODM⊥平面ABC．…

（Ⅱ）解：由題意，OD⊥OC，OB⊥OC，

又由（Ⅰ）知OB⊥OD，建立如圖所示空間直角坐標系，

由條件知：

故 ，

設平面MAD的法向量 ，

則 ，即 ，令 ，則x=3，z=9

∴

由條件知OB⊥平面ACD，故取平面ACD的法向量為

所以，

由圖知二面角M﹣AD﹣C為銳二面角，

故二面角M﹣AD﹣C的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）推導出OD⊥AC，DO⊥OM，從而OD⊥面ABC，由此能證明平面ODM⊥平面ABC．（Ⅱ）由OD⊥OC，OB⊥OC，OB⊥OD，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角M﹣AD﹣C的余弦值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．