Question

【題目】已知數列{an}滿足條件：a1=1，a2=r（r＞0），且{anan+1}是公比為q（q＞0）的等比數列，設bn=a2n﹣1+a2n（n=1，2，…）．
（1）求出使不等式anan+1+an+1an+2＞an+2an+3（n∈N*）成立的q的取值范圍；
（2）求bn和 ，其中Sn=b1+b2+…+bn；
（3）設r=219.2﹣1，q= ，求數列{ }的最大項和最小項的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得rqn﹣1+rqn＞rqn+1

由題設r＞0，q＞0，故從上式可得 q2﹣q﹣1＜0，

∵q＞0，故

（2）解：∵b1=1+r≠0，所以{bn}是首項為1+r，公比為q的等比數列，從而bn=（1+r）qn﹣1

當q=1時，Sn=n（1+r）， =0；

當0＜q＜1時 =

當q＞1時， =0；

∴

（3）解：從上式可知，設f（n）=

當n＞21時，f（n）遞減，∴f（n）≤f（21），∴f（n）max=2 25；

當n≤20時，f（n）遞減，∴f（n）≥f（20），f（n）min=﹣4

∴當n=21時，數列{ }有最大值2 25；當n=20時，數列{ }有最小值﹣4．

【解析】（1）利用數列{an}滿足條件：a1=1，a2=r（r＞0），且{anan+1}是公比為q（q＞0）的等比數列，可得公比的不等式，故可求q的取值范圍；（2）先考慮相鄰項的關系，可知比值為常數，故可知數列是等比數列，由于公比不定，故要進行分類討論；（3）先求數列{ }的通項，再利用單調性，研究其最值．