Question

已知拋物線y²=4x的焦點為F，過F的直線交拋物線于M、N，其準線l與x軸交于K點．
（1）寫出拋物線的交點坐標及準線方程；
（2）求證：KF平分∠MKN；
（3）O為坐標原點，直線MO、NO分別交準線于點P、Q，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線y²=4x，可得拋物線焦點坐標為（1，0），準線方程為x=-1．
（2）證明：作MM₁⊥準線 于M₁，NN₁⊥準線 于N₁，則

|MF|

|NF|

=

|M1K|

|N1K|

，根據拋物線的定義有

|MF|

|NF|

=

|M1M|

|N1N|

，從而可得KMM₁=∠KNN₁，進而可知KF平分∠MKN
（3）設M、N的坐標分別為(

y 2 1

4

，y1)，(

y 2 2

4

，y2)，根據M，O，P三點共線，確定P點的坐標，根據N，O，Q三點共線可求出Q點坐標，設直線MN的方程為x=my+1，代入拋物線y²=4x，化簡可得y²-4my-4=0，從而可得PQ|=|

4

y1

-

4

y2

|=

4|y1-y2|

y1y2

=4

m2+1

，由此可求PQ|的最小值．

解答：（1）解：∵拋物線y²=4x
∴拋物線焦點坐標為（1，0），準線方程為x=-1．
（2）證明：作MM₁⊥準線 于M₁，NN₁⊥準線 于N₁，則

|MF|

|NF|

=

|M1K|

|N1K|

，
又由拋物線的定義有

|MF|

|NF|

=

|M1M|

|N1N|

∴

|M1M|

|N1N|

=

|M1K|

|N1K|

∴

|N1K|

|N1N|

=

|M1K|

|M1M|

∴∠KMM₁=∠KNN₁，即∠MKF=∠NKF，
∴KF平分∠MKN
（3）解：設M、N的坐標分別為(

y 2 1

4

，y1)，(

y 2 2

4

，y2)，
M，O，P三點共線可求出P點的坐標為(-1，-

4

y1

)，
由N，O，Q三點共線可求出Q點坐標為(-1，-

4

y2

)，
設直線MN的方程為x=my+1，代入拋物線y²=4x，化簡可得y²-4my-4=0
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4
∴|PQ|=|

4

y1

-

4

y2

|=

4|y1-y2|

y1y2

=4

m2+1

又直線MN的傾斜角為θ，則m=cotθ（0＜θ＜π），
∴|PQ|=4

cot2θ+1

=

4

sinθ

∴θ=

π

2

時，|PQ|取得最小，最小值為4．

點評：本題以拋物線為載體，考查拋物線的性質，考查直線與拋物線的位置關系，考查拋物線的定義，正確表示|PQ|是關鍵．