Question

【題目】已知是拋物線上三個不同的點，且.

（Ⅰ）若，求點的坐標；

（Ⅱ）若拋物線上存在點，使得線段總被直線平分，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）首先根據點在拋物線上求得的值，然后設出點的坐標，從而根據存在斜率的兩直線垂直斜率乘積為，求得點的坐標；

（Ⅱ）首先設出點的坐標，然后利用斜率公式求得直線恒過的定點的坐標，由此寫出直線的方程，并代入拋物線方程求得點的坐標，從而根據線段總被直線平分求得點的坐標.

解：（Ⅰ）在拋物線上，.

設，則由，得，

解得，即；

（Ⅱ）設，

則直線的方程為，

由，

得，

代入直線的方程，

得，

故直線恒過點，所以，

因此直線的方程為，

代入拋物線的方程，

得，，

所以，

故點的坐標為.

因為線段被直線平分，

所以

解得，

即點的坐標為.