Question

【題目】如圖，四棱錐A﹣BCDE中，AB、BC、BE兩兩垂直且AB＝BC＝BE，DE∥BC，DE＝2BC，F是AE的中點．

（1）求證：BF∥面ACD；

（2）求證：面ADE⊥面ACD．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）取AD的中點M，連接CM、MF，推導出四邊形BCMF為平行四邊形，從而CM∥BF，由此能證明BF∥面ACD．

（2）作DE中點N，連接CN，推導出CM⊥AD，BF⊥AE，CM⊥AE，由此能證明面ADE⊥面ACD．

證明：（1）取AD的中點M，連接CM、MF．

∵F、M分別為AE、AD中點，∴DE∥2MF，DE=2MF

又∵DE∥2BC，DE=2BC∴FM∥BC，FM=BC，

∴四邊形BCMF為平行四邊形，∴CM∥BF，

又∵BF面ACD，CM面ACD，

∴BF∥面ACD．

（2）作DE中點N，連接CN，

∵DE∥2BC，DE=2BC，N為DE中點N，∴DN＝BC，

又∵AB、BC、BE兩兩垂直，且AB＝BC＝BE，∴AC＝CD，

∵M為AD中點，∴CM⊥AD，

又∵F是AE的中點，且AB＝BE，∴BF⊥AE，

∵CM∥BF，∴CM⊥AE，

又∵AD∩AE＝A，AE、AD面ADE，∴CM⊥面ADE，

∵CM面ACD，∴面ADE⊥面ACD．