Question

已知函數f（x）=cos（2x-

π

3

）-

1

2

cos2x+1
（1）求函數f（x）的最小正周期及最大值；
（2）設A，B，C為△ABC的三個內角，若AB=1，sinB=

1

3

，f(

2C

3

)=

7

4

，且C為銳角，求AC的長．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和公式和二倍角公式對函數解析式化簡整理，利用三角函數的周期公式氣的函數的最小正周期，進而利用正弦函數的性質求得函數的最大值．
（2）利用f(

2C

3

)=

7

4

求得sin

4c

3

的值，進而求得

4C

3

的值，則C的值可求，進而求得sinC的值，最后利用正弦定理求得AC．

解答：解：f（x）=cos（2x-

π

3

）-

1

2

cos2x+1=cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

-

cos2x

2

+1=1+

3

2

sin2x
（1）T=

2π

2

=π
當2x=

π

2

+2kπ，即x=

π

4

+kπ，k∈Z時，f(x)max=

2+ 3

2

．
所以函數f（x）的最大值為

2+ 3

2

，最小正周期為π．
（2）f(

2C

3

)=1+

3

2

sin

4C

3

=

7

4

，∴sin

4C

3

=

3

2

，
因為C為銳角，即0＜C＜

π

2

，∴0＜

4C

3

＜

2π

3

，∴

4C

3

=

π

3

，C=

π

4

，所以sinC=

2

2

在△ABC中，由正弦定理，

AC

sinB

=

AB

sinC

，得AC=

AB•sinB

sinC

=

1 3

2 2

=

2

3

點評：本題主要考查了兩角和公式，二倍角公式的化簡求值，三角函數的基本性質，正弦定理的應用．綜合考查了基礎知識的靈活的應用．