Question

【題目】已知點是曲線：上的動點，延長（是坐標原點）到，使得，點的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）若點，分別是曲線的左、右焦點，求的取值范圍；

（3）過點且不垂直軸的直線與曲線交于，兩點，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）用動點轉移法求軌跡方程，即設，，由已知用表示，并把代入方程可得方程；

（2）設，則．求出后可得取值范圍；

（3）設，則．設經過點的直線方程為：，，．由直線與橢圓相交弦試公式（用韋達定理求解）得弦長，求出到直線的距離后可表示出的面積，注意引入三角恒等變換，設，可化簡表達式，從而求得最值．

解：（1）設，，∵，∴，可得，代入，可得，

∴曲線的方程為．

（2），．設，則． 則

，

∵，∴．

（3）設，則．

設經過點的直線方程為：，，．

聯立，

消去得：，

∴，，

∴，

點到直線的距離．

∴．

令，

則，令，

∴，

則，

當且僅當時，取得最大值．