Question

【題目】已知點為直線上的動點，，過作直線的垂線，交的中垂線于點，記點的軌跡為.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）若直線與圓相切于點，與曲線交于，兩點，且為線段的中點，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直線的方程為或

【解析】

（Ⅰ）由已知可判斷：點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，結合已知即可求得曲線的方程

（Ⅱ）設，，，聯立直線與橢圓方程可得：，利用中點坐標公式即可求得：，利用點在圓上及列方程組可得：，解得：，，問題得解。

解：（Ⅰ）由已知可得，，

即點到定點的距離等于它到直線的距離，

故點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，

∴曲線的方程為.

（Ⅱ）設，，，

由，得，

∴，

∴，，即，

∵直線與圓相切于點，

∴，且，

從而，，

即：，

整理可得，即，

∴，

故直線的方程為或.