Question

【題目】已知數列{an}中，a1=1，an+1= （n∈N*）．
（1）求證：{ + }是等比數列，并求{an}的通項公式an；
（2）數列{bn}滿足bn=（3n﹣1） an ， 數列{bn}的前n項和為Tn ， 若不等式（﹣1）nλ＜Tn+ 對一切n∈N*恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由數列{an}中，a1=1，an+1= （n∈N*），可得 =1+ ．

∴ ，

∴{ }是首項為 ，公比為3的等比數列，

∴ ，化為

（2）解：由（1）可知： = ，

Tn= +…+ ．

…+ + ，

兩式相減得 ﹣ = = ．

∴ ．

∴（﹣1）nλ＜ + =4﹣ ．

若n為偶數，則 ，∴λ＜3．

若n為奇數，則 ，∴﹣λ＜2，解得λ＞﹣2．

綜上可得﹣2＜λ＜3．

【解析】（1）由數列{an}中，a1=1，an+1= （n∈N*），可得 =1+ ．變形為 ，利用等比數列的通項公式即可得出．（2）由（1）可知：bn ， 利用“錯位相減法”即可得出Tn ， 利用不等式（﹣1） ，通過對n分為偶數與奇數討論即可．
【考點精析】利用等比關系的確定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷．