Question

有以下四個命題：
①對于任意實數a、b、c，若a＞b，c≠0，則ac＞bc；
②設S_n是等差數列{a_n}的前n項和，若a₂+a₆+a₁₀為一個確定的常數，則S₁₁也是一個確定的常數；
③在三角形△ABC中，若sinA＞sinB，恒有A＞B；
④對于任意正實數x，若sinx＞0，y=sinx+

2

sinx

，則y的最小值為2

2

．
其中正確命題的是

 

（把正確的答案題號填在橫線上）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：綜合題

分析：①根據不等式的基本性質可以判定命題①錯誤；
②等差數列{a_n}中，a₂+a₆+a₁₀=k為常數時，可得a₆為常數，即S₁₁為常數，判定命題②正確；
③△ABC中，A＞B等價于a＞b，結合正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

知，判定命題③正確；
④由|sinx|≤1，當sinx＞0時，求出y=sinx+

2

sinx

的最小值，判定命題④錯誤．

解答： 解：對于①，根據不等式的基本性質得，
當c＞0時，ac＞bc，c＜0時，ac＜bc，∴命題①錯誤；
對于②，等差數列{a_n}中，設a₂+a₆+a₁₀=k（k是常數），
∴a₆=

k

3

，∴S₁₁=11×

k

3

=

11k

3

為常數，∴命題②正確；
對于③，△ABC中，A＞B等價于a＞b，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

知，若A＞B，則a＞b，∴sinA＞sinB；
若sinA＞sinB，則a＞b，∴A＞B；∴命題③正確；
對于④，∵|sinx|≤1，當sinx＞0時，
y=sinx+

2

sinx

的最小值為1+2=3，∴命題④錯誤．
綜上，正確的命題是②③．
故答案為：②③．

點評：本題通過命題真假的判定，考查了不等式的基本性質，等差數列的應用，正弦定理的應用以及求函數的最小值等知識，是綜合性題目．