Question

【題目】已知圓，圓內一點，動圓經過點且與圓內切.

（1）求圓心的軌跡的方程.

（2）過點且不與坐標軸垂直的直線交曲線于兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，求點橫坐標的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由圓與圓內切可得，由橢圓的定義可得軌跡的方程；

（2）設直線的方程為，與的方程聯立，消去得：，利用韋達定理，可求出線段的中點坐標，進而可求出垂直平分線的方程為，令，可得點橫坐標為，進而可得取值范圍.

（1）∵圓與圓內切，圓的半徑為4，得，而，

∴，∴圓心的軌跡是以為焦點的橢圓.

∴.∴.∴.

∴圓心的軌跡的方程為.

（2）設直線的斜率為，由直線不與坐標軸垂直，故，直線的方程為，將直線的方程與的方程聯立得：消得：，

由韋達定理得：，設線段的中點坐標為，

則.

則垂直平分線的方程為.令，點橫坐標為：，

因為，所以，

故點被坐標的取值范圍是：.