Question

【題目】設函數，.

（1）若，討論的零點個數；

（2）證明：.

Answer 1

【答案】（1）當時，有唯一零點；當時，有兩個零點；（2）證明見解析

【解析】

（1）求得函數的導數，求得當，函數有唯一的零點；

當，利用導數求得函數的單調性與最值，結合最值，即可求解.

（2）令，求得導數，令，得到在有唯一零點，結合導數求得函數的單調性與最值，即可求解.

（1）由題意，函數，則，

①當，則函數，此時有唯一的零點；

②當，令，可得，

	-	+

所以，最多兩個零點，

當時，可得且，所以，

所以，故時，，

所以在有一個零點；

當時，，所以在有一個零點.

綜上可知，當時，有唯一零點；當時，有兩個零點.

（2）令，

則，

令，可得在是增函數，

且（，

所以在有唯一零點，且，

當時，，在上為減函數，

當時，，在上為增函數，

故，且，

所以，∴，

所以成立.