Question

【題目】從①前項和，②，③且，這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中，并完成解答．

在數列中，，_______，其中．

（Ⅰ）求的通項公式；

（Ⅱ）若成等比數列，其中，且，求的最小值．

Answer 1

【答案】選擇①：（Ⅰ）；（Ⅱ）5．

選擇②：（Ⅰ）；（Ⅱ）6．

選擇③：（Ⅰ）；（Ⅱ）5．

【解析】

（Ⅰ）選擇①，由求得的值，再由可求得數列的通項公式；

選擇②，可知數列是以為公差的等差數列，進而可求得數列的通項公式；

選擇③，可知數列是等差數列，求出公差的值，進而可求得數列的通項公式；

（Ⅱ）由可得出關于的表達式，進而可求得的最小值．

選擇①：（Ⅰ）當時，由，得.

當時，由題意，得，所以．

經檢驗，符合上式，所以；

（Ⅱ）由、、成等比數列，得，即．

化簡，得，

因為、是大于的正整數，且，所以當時，有最小值．

選擇②：（Ⅰ）因為，所以．

所以數列是公差的等差數列.

所以；

（Ⅱ）由、、成等比數列，得，即．

化簡，得，

因為、是大于的正整數，且，所以當時，取到最小值；

選擇③：（Ⅰ）由，得，所以數列是等差數列，

設等差數列的公差為，又因為，，所以.

所以；

（Ⅱ） 因為、、成等比數列，所以，即．

化簡，得，

因為、是大于的正整數，且，所以當時，有最小值．