Question

【題目】若，設其定義域上的區間（）.

（1）判斷該函數的奇偶性，并證明；

（2）當時，判斷函數在區間（）上的單調性，并證明；

（3）當時，若存在區間（），使函數在該區間上的值域為，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）奇函數，證明見解析；（2）在（）為增函數，證明見解析；（3）

【解析】

（1）首先求出函數的定義域，再根據定義法證明函數的奇偶性；

（2）利用定義法證明函數的單調性，按照：設元、作差、變形、判斷符號、下結論的步驟完成即可；

（3）由（1）得，當時，在為減函數，故若存在定義域，，使值域為，則有，從而問題可轉化為，是方程的兩個解，進而問題得解．

解：（1）因為

由解得或，即的定義域為，關于原點對稱．

為奇函數.

（2）在（）為增函數；

證明：的定義域為，則．

設，，則，且，，

，

即，

因為時，所以，即，

所以在（）為增函數．

（3）由（1）得，當時，在（）為遞減函數，

若存在定義域（），使值域為，

則有

，是方程在上的兩個相異的根，

即，

即在上的兩個相異的根，

令，

則在有2個零點，

解得

即當時，，

當時，方程組無解，即（）不存在．