Question

【題目】如圖， 中， 是的中點， ，將沿折起，使點到達點.

（1）求證： 平面；

（2）當三棱錐的體積最大時，試問在線段上是否存在一點，使與平面所成的角的正弦值為？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）不存在.

【解析】試題分析：（1）在中， 是的中點， ，所以，由折疊知，故可以證明面；（2）當面面時，三棱錐的體積最大，∵面面， ，∴面，連結，在直角三角形中，由，可以求出或者的值，即可判斷是否存在點。

試題解析：（1）∵且是的中點，∴，由折疊知，又∵，∴面；

（2）不存在，證明如下：

當面面時，三棱錐的體積最大，∵面面， ，∴面，

法1：連結，∵，∴面，∴即為與平面所成的角，在直角三角形中， ，∴，而中， ， ，設到直線的距離為，則由，得，∵，∴滿足條件的點不存在；

法2：在直角三角形中， ， ，∴，易求得到直線的距離為，∴滿足條件的點不存在.

法3：已證得兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系，則，設，則，又∵平面的法向量，依題意得， ，得，化簡得， ，此方程無解，∴滿足條件的點不存在.