【題目】已知函數
，其中
， 
， 
是自然對數的底數.
（Ⅰ）討論
的單調性；
（Ⅱ）設函數
，證明： 
.
【答案】（Ⅰ）
在
上單調遞減，在
上單調遞增；（2）見解析.
【解析】試題分析：（1）先求函數導數，根據導函數零點情況分類討論：當
時，僅有一個零點1；當
時，兩個相同的零點；當
及
時，兩個不同的零點，最后根據導函數符號變化規律確定單調性，（2）先等價轉化所證不等式： 
①且
②，然后分別利用導數研究函數最值： 
的最小值為
， 
的最小值為
試題解析：（Ⅰ） 
（1）當
時， 
，當
， 
；當
， 
；
所以
在
上單調遞減，在
上單調遞增.
（2）當
時，令
，得
，
由
得
，由
得
或
，
所以
在
， 
上單調遞增，在
上單調遞減.
（3）當
時，令
， 
，故
在
上遞增.
（4）當
時，令
，得
，
由
得
，由
得
或
，
所以
在
， 
上單調遞增，在
上單調遞減.
綜上，當
時， 
在
上單調遞減，在
上單調遞增.
當
時， 
在
， 
上單調遞增，在
上單調遞減.
當
時， 
在
上遞增.
當
時， 
在
， 
上單調遞增，在
上單調遞減.
（Ⅱ）
①且
②
先證①：令
，則
，
當
， 
， 
單調遞減；當
， 
， 
單調遞增；
所以
，故①成立！
再證②：由（Ⅰ），當
時， 
在
上單調遞減，在
上單調遞增，
所以
，故②成立！
綜上， 
恒成立.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C的方程為
＋
＝1，A、B為橢圓C的左、右頂點，P為橢圓C上不同于A、B的動點，直線x＝4與直線PA、PB分別交于M、N兩點；若D(7，0)，則過D、M、N三點的圓必過x軸上不同于點D的定點，其坐標為________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓柱
底面半徑為1，高為
，ABCD是圓柱的一個軸截面，動點M從點B出發沿著圓柱的側面到達點D，其距離最短時在側面留下的曲線
如圖所示．將軸截面ABCD繞著軸
逆時針旋轉
后，邊
與曲線
相交于點P．
(Ⅰ)求曲線
長度；
(Ⅱ)當
時，求點
到平面APB的距離；
(Ⅲ)證明：不存在
，使得二面角
的大小為
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若奇函數y=f（x）在區間（0，+∞）上是增函數，又f（﹣3）=0，則不等式f（x）＜0的解集為（ ）
A.（﹣3，0）∪（3，+∞）
B.（﹣3，0）∪（0，3）
C.（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
D.（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，以Ox軸為始邊作兩個銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知A，B的橫坐標分別為
， 
.求：
（1）tan(α＋β)的值；
（2）α＋2β的大小．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖， 
中， 
是
的中點， 
，將
沿
折起，使
點到達
點.
（1）求證： 
平面
；
（2）當三棱錐
的體積最大時，試問在線段
上是否存在一點
，使
與平面
所成的角的正弦值為
？若存在，求出點
的位置；若不存在，請說明理由.
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