Question

已知橢圓（）的右焦點(diǎn)為，離心率為.
（Ⅰ）若，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，分別為線段的中點(diǎn). 若坐標(biāo)原點(diǎn)在以為直徑的圓上，且，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）由已知橢圓的半焦距，又，根據(jù)離心率的定義得，則，所以，從而得出所求橢圓的方程為.
（2）根據(jù)題意可設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消去得，則，，因?yàn)樵�點(diǎn)在圓上，所以，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)可知四邊形為矩形，所以，又，所以，，因此，即，從而可整理得，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032634950727.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，即，從而，所以，因此，解得.（如圖所示）

試題解析：（Ⅰ）由題意得，得.                            2分
結(jié)合，解得，.                         3分
所以，橢圓的方程為.                                4分
（Ⅱ）由 得.
設(shè).
所以，                               6分
依題意，，
易知，四邊形為平行四邊形，
所以，                                              7分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032635761812.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以.        8分
即 ，                                 9分
將其整理為 .               10分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032634950727.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，.          11分
所以，即.                     13分