Question

【題目】已知橢圓： ， 分別是其左、右焦點，以線段為直徑的圓與橢圓有且僅有兩個交點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設過點且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，點橫坐標的取值范圍是，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ） ;(Ⅱ) ．

【解析】試題分析：（1）由橢圓幾何條件可得 ，因此 ，(2) 將直線方程與橢圓方程聯立，結合韋達定理以及弦長公式可得關于直線斜率的函數關系式，再根據中點坐標公式列出線段的垂直平分線，并求與軸交點橫坐標，根據點橫坐標的取值范圍，確定直線斜率取值范圍，最后根據直線斜率取值范圍確定的最小值.

試題解析：（Ⅰ） 由題意可知，

∴，故橢圓的方程為.

(Ⅱ) 設直線方程為，

代入有，

設， 中點，

∴.

∴

∴的垂直平分線方程為，

令，得

∵，∴，∴．

，

．