Question

【題目】設函數，函數．

（1）求函數的值域；

（2）若對于任意的，總存在，使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：

（1）根據和三種情況分別求出的取值范圍，最后可得函數的值域為。（2）由（1）知，函數的值域。由函數上單調遞增，可得函數的值域，“對于任意的，總存在，使得成立”等價于，并由此得到，解得即為所求。

試題解析：

（1）①當時， ，則函數在（0,1）上單調遞增，在上單調遞減，所以。

②當時， ；

③當時， ，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以。

綜上可得。

所以函數的值域為。

（2）由（1）知，函數的值域

又函數上單調遞增，

∴，即，

∴函數的值域，

由題意得“對于任意的，總存在，使得成立”等價于，

∴，

解得．

∴實數的取值范圍為.