Question

【題目】已知點P（1，m）在拋物線C：y2=2Px（P＞0）上，F為焦點，且|PF|=3．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點T（4，0）的直線l交拋物線C于A，B兩點，O為坐標原點．
（ⅰ）求 的值；
（ⅱ）若以A為圓心，|AT|為半徑的圓與y軸交于M，N兩點，求△MNF的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：拋物線C：y2=2px（p＞0），

∴焦點F（ ）．…（1分）

由拋物線定義得：|PF|=1+ =3，

解得p=4，

∴拋物線C的方程為y2=8x．

（2）解：（i）依題意可設過點T（4，0）的直線l的方程為x=ty+4，

由 ，得y2﹣8ty﹣32=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），

則y1+y2=8t，y1y2=﹣32，

∴ ，

∴ = + =16﹣32=﹣16．

（ii）設A（x1，y1），M（0，yM），N（0，yN），則 ，①

以A為圓心，|AT|為半徑的圓的方程為 ，

令x=0，則 +（y﹣y1）2=（4﹣x1）2+ ，②

把①代入②得（y﹣y1）2=16，

∴y=y1+4或y=y1﹣4，

∴|MN|=|yM﹣yN|=8，

∴S△MNF= |MN||OF|= =8．

【解析】（1）由拋物線定義得：|PF|=1+ =3，由此能求出拋物線C的方程．（2）（i）依題意設過點T（4，0）的直線l的方程為x=ty+4，由 ，得y2﹣8ty﹣32=0，由此利用韋達定理能求出 =﹣16．（ii）設A（x1 ， y1），M（0，yM），N（0，yN），則 ，以A為圓心，|AT|為半徑的圓的方程為 ，由此能求出△MNF的面積．