Question

【題目】已知函數，

（Ⅰ）若，求的單調區間；（Ⅱ）若有最大值3，求的值；（Ⅲ）若的值域是，求的取值范圍。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）上單調遞減，在單調遞增. （Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）將原函數分解為兩個基本初等函數，借助于復合函數單調性判定方法可求得函數單調區間；（Ⅱ）由函數有最大值可知原函數先增后減，所以二次函數先減后增，及二次函數取得最小值-1，由此可得a的值；（Ⅲ）由函數值域可得可取的所有得正數，結合二次函數性質可求得的取值范圍

試題解析：（Ⅰ）當時，，令，由于在上單調遞增，在單調遞減，而在上單調遞減，在上單調遞減，在單調遞增. …………4分

（Ⅱ）令，，由于有最大值3，所以應有最小值-1，因此，解得.…………8分

（Ⅲ）由指數函數的性質可知，要使的值域為，則的值域應為，因此只能是，因為若，則為二次函數，值域不可能是，故的取值范圍是.…12分