Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為 （t為參數）．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρ=2．
（1）若點M的直角坐標為（2， ），直線l與曲線C1交于A、B兩點，求|MA|+|MB|的值．
（2）設曲線C1經過伸縮變換 得到曲線C2 ， 求曲線C2的內接矩形周長的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線C的極坐標方程為ρ=2，則曲線C的直角坐標方程為：x2+y2=4，

直線l： ，轉化成普通方程為：y﹣ x+ =0，

設A，B兩點對應的參數分別為t1，t2，

將直線l的參數方程帶入圓的直角坐標方程x2+y2=4，

整理得：t2+5t+3=0，

△＞0，故t1，t2是方程的兩個根，

∴t1+t2=﹣5，t1t2=3，

|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=5；

（2）解： 代入曲線C的方程得： ，

設曲線C′的內接矩形周長為P，

曲線C′的內接矩形的第一象限內的頂點為N（x′，y′）（0＜x＜ ，0＜y＜1），

x′2+3y′2=3，x′= ，

P=4x′+4y′=4 +4y′，

令f（y）=4 +4y′，

f′（y）= +4，

令f′（y′）=0得y= ，

當0＜y′＜ 時，f′（y′）＞0，當 ＜y＜1時，f′（y′）＜0．

∴當y′= 時，f（y）取得最大8．

曲線C′的內接矩形周長的最大8

【解析】（1）求得曲線C的直角坐標方程，把直線l代入圓的直角坐標方程，化簡后利用韋達定理可求t1+t2 ， t1t2的值，由|MA|+|MB|=|t1﹣t2|= ，即可求得|MA|+|MB|的值；（2）設矩形的頂點坐標為（x′，y′），則根據x′，y′的關系消元得出P關于x（或y）的函數，利用導數，求出此函數的最大值．