Question

設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，已知（a₄-1）³+2013（a₄-1）=1，（a₂₀₁₀-1）³+2013（a₂₀₁₀-1）=-1，則下列結論中正確的是（　　）

• A、S₂₀₁₃=2013，a₂₀₁₀＜a₄
• B、S₂₀₁₃=2013，a₂₀₁₀＞a₄
• C、S₂₀₁₃=2012，a₂₀₁₀≤a₄
• D、S₂₀₁₃=2012，a₂₀₁₀≥a₄

Answer 1

考點：等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：由題意構造函數f（x）=x³+2013x，求出f′（x），判斷出函數f（x）為單調遞增函數且為奇函數，由已知的兩等式得到f（a₄-1）=1及f（a₂₀₁₀-1）=-1，由f（x）為奇函數得到f（1-a₂₀₁₀）=1，由函數的單調性得到a₄-1與1-a₂₀₁₀相等即a₄+a₂₀₁₀=2，然后根據等差數列的前n項和的公式表示出S₂₀₁₃，根據等差數列的性質化簡后，將a₄+a₂₀₁₀=2代入即可求出值，再根據單調性判斷出a₄＞a₂₀₁₀．

解答： 解：令f（x）=x³+2013x，則f′（x）=3x²+2013＞0，
得到f（x）在R上單調遞增，且f（x）為奇函數．
由條件，有f（a₄-1）=1，f（a₂₀₁₀-1）=-1，即f（1-a₂₀₁₀）=1．
∴a₄-1=1-a₂₀₁₀，從而a₄+a₂₀₁₀=2，
則S2013=

2013(a1+a2013)

2

=

2013(a4+a2010)

2

=2013，
∵f（a₄-1）=1，f（a₂₀₁₀-1）=-1，f（x）在R上單調遞增，
∴a₄-1＞a₂₀₁₀-1，即a₄＞a₂₀₁₀，
故選：A．

點評：本題考查靈活運用等差數列的性質及前n項和的公式化簡求值，函數的單調性與導數的關系，考查了構造函數、利用函數思想解決實際問題的能力，是一道中檔題．