Question

【題目】已知在等比數列中， ，且， ， 成等差數列.

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）若數列滿足，數列的前項和為，試比較與的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）因為，所以可根據， ， 成等差數列列出關于首公比 的方程，解得的值，即可得到數列的通項公式；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結論可得，根據分組求和法，利用等差數列求和公式以及等比數列求和公式可得，再利用做差法可比較與的大小.

試題解析：（Ⅰ）設等比數列的公比為，∵， ， 成等差數列，

∴，∴，

∴.

（Ⅱ）∵

∴

.

因為，所以

【方法點晴】本題主要考查等差數列的求和公式及等比數列的求和公式，以及利用“分組求和法”求數列前項和，屬于中檔題. 利用“分組求和法”求數列前項和常見類型有兩種：一是通項為兩個公比不相等的等比數列的和或差，可以分別用等比數列求和后再相加減；二是通項為一個等差數列和一個等比數列的和或差，可以分別用等差數列求和、等比數列求和后再相加減.