Question

【題目】已知方程（2＋λ）x－（1＋λ）y－2（3＋2λ）＝0與點P（－2，2）.

（1）證明：對任意的實數λ，該方程都表示直線，且這些直線都經過同一定點，并求出這一定點的坐標；

（2）證明：該方程表示的直線與點P的距離d小于.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；直線經過的定點為M（2，－2）（2）證明見解析

【解析】

（1）變形得到2x－y－6＋λ（x－y－4）＝0，得到方程計算得到答案.

（2）易知≤|PM|=，當與直線垂直時，直線方程為x－y－4＝0.，而直線系不能表示此直線，故得證.

（1）解顯然2＋λ與－（1＋λ）不可能同時為零，故對任意的實數λ，該方程都表示直線.

∵方程可變形為2x－y－6＋λ（x－y－4）＝0，∴ 解得

故直線經過的定點為M（2，－2）.

（2）證明：易知≤|PM|=，當且僅當與直線垂直時，等號成立

此時對應的直線方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.

但直線系方程唯獨不能表示直線x－y－4＝0，∴<，故所證成立.