Question

【題目】(1)討論函數f(x)＝ex的單調性，并證明當x>0時，(x－2)ex＋x＋2>0．

(2)證明：當a∈[0,1) 時，函數g(x)＝ (x>0) 有最小值．設g(x)的最小值為h(a)，求函數h(a)的值域.

Answer 1

【答案】（1）在和上都是遞增，證明見解析；（2）證明見解析，.

【解析】試題分析：（1）求導后分析導數大于零（或小于零）的解，即可求出單調區間，利用極小值即可證明不等式成立；（2）利用二次求導求函數的單調性最值，從而求出h(a)的值域.

試題解析：

(1)f(x)＝ex，x∈(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．

f ′(x)＝ex＝，

因為當x∈(－∞，－2)∪(－2，＋∞)時，f ′(x)>0，

所以f(x)在(－∞，－2)和(－2，＋∞)上單調遞增，

所以x>0時， ex>f(0)＝－1，

所以(x－2)ex＋x＋2>0．

(2)g′(x)＝

＝

＝，a∈[0,1)．

由(1)知，當x>0時，f(x)＝·ex的值域為(－1，＋∞)，只有一解，使得·et＝－a，t∈(0,2]．

當x∈(0，t)時g′(x)<0，g(x)單調遞減；

當x∈(t，＋∞)時g′(x)>0，g(x)單調遞增．

h(a)＝＝＝，

記k(t)＝，在t∈(0,2]時，k′(t)＝>0，

所以k(t)單調遞增，

所以h(a)＝k(t)∈．