Question

【題目】設關于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的兩根分別為α、β（α＜β），函數

（1）證明f（x）在區間（α，β）上是增函數；

（2）當a為何值時，f（x）在區間[α，β]上的最大值與最小值之差最小．

Answer 1

【答案】（1）見解析,(2) 當a=0時，f（x）在區間[α，β]上的最大值與最小值之差最小.

【解析】（1）證明：設Φ（x）=2x2﹣ax﹣2，則當α＜x＜β時，Φ（x）＜0．

f′（x）=＞0，∴函數f（x）在（α，β）上是增函數．

（2）由關于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的兩根分別為α、β（α＜β），

可得α β，f（α） ，f（β）=，

即有f（α）f（β） =﹣4＜0，

函數f（x）在[α，β]上最大值f（β）＞0，最小值f（α）＜0，

∴當且僅當f（β）=﹣f（α）=2時，

f（β）﹣f（α）=|f（β）|+|f（α）|取最小值4，

此時a=0，f（β）=2．當a=0時，f（x）在區間[α，β]上的最大值與最小值之差最小．