Question

【題目】已知函數，.

(I)若函數在區間上均單調且單調性相反,求的取值范圍；

(Ⅱ)若,證明:

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）見解析.

【解析】分析：(I)先通過分析得到函數在上單調遞增，在上單調遞減.再得到

在上恒成立，再分離參數得到,再求函數的最大值，即可求得的取值范圍. (Ⅱ)先利用函數在上單調遞增得到，再證明.再利用在上單調遞減，，再證明.

詳解：

（Ⅰ），

令

,由已知函數在上單調得:在上單調遞增，

，而，

所以得

所以在上單調遞減.

所以 在上恒成立，

即,

令

所以在上單調遞增，,

所以即上單調遞增，

（Ⅱ）在（Ⅰ）中，令在上單調遞增，

，即，

令,得，

在(I)中，令,

由在上均單調遞減得:

所以即

取得，，

即，由得：

綜上:

點睛:本題難在第(Ⅱ)問，它主要是利用了第(I)的結論. 先利用函數在上單調遞增得到，再給x賦值證明.再利用在上單調遞減，，再給x賦值證明.處理數學問題時，經常要注意利用聯系的觀點處理問題，學會利用前面的結論處理后面的問題.